高三数学立体几何，用几何法证明

几何法不是不能做,只是很麻烦,我只给你思路.

设线段FG在面AMNC上的射影是线段PQ,显然H在面AMNC上的射影是PQ中点,设为R

过R作RS⊥AC于S,连接HS,则∠RSH就是二面角D-AC-H的平面角

剩下的根据√6/3求出每一条线段的长度,尤其是RS和RH的长度.求出线段长度以後有tan∠RSH=RH/RS,那麼cos就可以求了.

（1）∵ABC是等腰直角三角形，AB=BC，且O是AC中点

∴OB⊥AC

又∵平面AMNC⊥平面ABC，OB⊂平面ABC，AC=平面AMNC ∩ 平面ABC

∴OB⊥平面AMNC

∵平面AMNC∥ 平面EFG

∴OB⊥平面EFG

而EH⊂平面EFG

∴OB⊥EH

（2）记EG、OB交点为I，根据题意BI/BH=√6/3

不妨令AB=BC=2√2，那么AE=BE=BG=CG=√2，OA=OC=OB=2，

∴BI=1，BH=√6/2，FH=HG=FG/2=EF/2=HI=sqrt(BH²-BI²)=√2/2

DO/2=FI=sqrt(EF²-EI²)=1

作HJ∥ EG分别交EF、FI于J、K

HJ∥ EG∥ AC，所以二面角D-AC-K就是二面角D-AC-H

显然∠KOD就是二面角的平面角，

cos∠KOD=sin∠KOB

OI=OB/2=1，FI=1，KI=1/2，OK=sqrt(OI²+KI²)=√5/2

sin∠KOB=KI/OK=√5/5 即为二面角D-AC-H的余弦值