（Ⅰ）当m=2时，f（x）=2lnx+x．f′(x)＝
+1＝2 x
．x+2 x
所以f'（1）=3．
又f（1）=1，
所以曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程是y-1=3（x-1），即3x-y-2=0．
（Ⅱ）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′(x)＝
+m?1＝m x
．(m?1)x+m x
当m≤0时，由x＞0知f′(x)＝
+m?1＜0恒成立，m x
此时f（x）在区间（0，+∞）上单调递减．
当m≥1时，由x＞0知f′(x)＝
+m?1＞0恒成立，m x
此时f（x）在区间（0，+∞）上单调递增．
当0＜m＜1时，由f'（x）＞0，得x＜
，由f'（x）＜0，得x＞m 1?m
，m 1?m
此时f（x）在区间(0，
)内单调递增，在区间(m 1?m
，+∞)内单调递减．m 1?m
（ III）由（Ⅱ）知函数f（x）的定义域为（0，+∞），
当m≤0或m≥1时，f（x）在区间（0，+∞）上单调，此时函数f（x）无最大值．
当0＜m＜1时，f（x）在区间(0，
)内单调递增，在区间(m 1?m
，+∞)内单调递减，m 1?m
所以当0＜m＜1时函数f（x）有最大值，最大值M＝f(
)＝mlnm 1?m
?m．m 1?m
因为M＞0，所以有mln
?m＞0，解之得m＞m 1?m
．e 1+e
所以m的取值范围是(
，1)．e 1+e
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