15问答网 > 已知函数f（x）=lgkx?1x?1（k∈R）．（1）若y=f（x）是奇函数，求k的值，并求该函数的定义域；（2）若函

已知函数f（x）=lgkx?1x?1（k∈R）．（1）若y=f（x）是奇函数，求k的值，并求该函数的定义域；（2）若函

2025-05-19 16:37:19

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回答1：

（1）∵y=f（x）是奇函数，
∴f（-x）=-f（x），即lg

?kx?1

?x?1

＝?lg

kx?1

x?1

，
∴

?kx?1

?x?1

＝

x?1

kx?1

，即1-k²x²=1-x²，
则k²=1，k=±1．
而k=1不合题意舍去，
∴k=-1．
由

?x?1

x?1

＞0，得-1＜x＜1．
∴函数f（x）的定义域为（-1，1）；
（2）∵f（x）在[10，+∞）上是增函数，
∴

10k?1

10?1

＞0，
∴k＞

．
又f（x）=lg

kx?1

x?1

=lg（k+

k?1

x?1

），
故对任意的x₁，x₂，当10≤x₁＜x₂时，恒有f（x₁）＜f（x₂），
即lg（k+

k?1

x1?1

）＜lg（k+

k?1

x2?1

），
∴

k?1

x1?1

＜

k?1

x2?1

，
∴（k-1）?（

x1?1

x2?1

）＜0，
又∵

x1?1

＞

x2?1

，
∴k-1＜0，
∴k＜1．
综上可知k∈（

，1）．