AB是圆O的直径，点P在AB的延长线上，PD切圆O于点C，BC和AD的延长线相交于点

1、连接OC，因PD于圆相切，则OC垂直PD；又因AD垂直PD，则OC平行AD；

在三角形ABE中，O是AB中点，且OC平行AE，则OC是AE的中位线，则OC=AE/2；

又因OC=AB/2；则AB=AE；

2、当三角形ABC和ADP相似时，ABE是等边三角形；

证明如下：

如两三角形相似，则有角CAP=CPA；又因CA平分角EAB，则角EAB=2CPA,即角EAB=60；则ABE是等边三角形；

则AB:AP=BC:AD；

设BC=X，则AB=2X,AC=√3*X,AD=(√3/2)*√3*X=3/2X；

则AB:AP=BC:AD=2:3

1、连接OC，因PD于圆相切，则OC垂直PD；又因AD垂直PD，则OC平行AD；
在三角形ABE中，O是AB中点，且OC平行AE，则OC是AE的中位线，则OC=AE/2；
又因OC=AB/2；则AB=AE；
2、当AB:BP=1：1时，△ABE为等边三角形
理由，
连OC，
因为PC是圆的切线
所以OC⊥PC,
当AB:BP=1：1，即AB=BP时，OC=OP/2
所以∠P=30°
所以 ∠COP=60°
因为OC=OB
所以△OBC是等边三角形
所以∠OBC=60°
因为AD⊥DP
所以AD∥OC
所以∠A=∠COB=60°
所以△ABE是等边三角形