15问答网 > 已知函数f（x）=kax-a-x（a＞0且a≠1）是奇函数，且f（1）＞0．（Ⅰ）求实数k的值；（Ⅱ）判断函数f（x）

已知函数f（x）=kax-a-x（a＞0且a≠1）是奇函数，且f（1）＞0．（Ⅰ）求实数k的值；（Ⅱ）判断函数f（x）

2025-06-22 02:08:24

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回答1：

（Ⅰ）∵f（x）是定义域为R的奇函数，
∴f（0）=0，即k-1=0，解得k=1．
经检验k=1符合题意．
（Ⅱ）∵f（x）=a^x-a^-x，f（1）＞0，
∴f（1）=a-

＞0，
∵a＞0且a≠1，∴解得a＞1，
则函数f（x）在R上单调递增．
用定义证明（x）在R上单调递增．
设x₁，x₂是R上的任意两个实数，且x₁＜x₂，
则f(x1)?f(x2)＝ax1?a?x1?ax2+a?x2=ax1?ax2+

ax2

ax1

＝ax1?ax2+

ax1?ax2

ax2ax1

＝(ax1?ax2)(1+

ax2ax1

)，
∵a＞1，∴函数y=a^x为增函数，
∴当x₁＜x₂时，0＜ax1＜ax2，即ax1?ax2＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴函数f（x）在R上单调递增．
（Ⅲ）∵f（x）是定义域为R的奇函数，
∴不等式f（x²+2x）+f（x-4）＞0等价为f（x²+2x）＞-f（x-4）=f（4-x），
又∵f（x）在R上单调递增．
∴x²+2x＞4-x，即x²+3x-4＞0，
解得x＞1或 x＜-4．
即不等式的解集为{x|x＞1或 x＜-4}．