15问答网 > 已知等差数列{an} 的公差d不为0，设Sn=a1+a2q+…+anqn-1，Tn=a1-a2q+…+（-1）n-1anqn-1，n∈N*（Ⅰ）若q

已知等差数列{an} 的公差d不为0，设Sn=a1+a2q+…+anqn-1，Tn=a1-a2q+…+（-1）n-1anqn-1，n∈N*（Ⅰ）若q

2025-05-14 08:40:53

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回答1：

解（I）由题设，S₃=a₁+（a₁+d）q+（a₁+2d）q²，将q=1，a₁=1，S₃=15，
代入解得d=4，
所以a_n=4n-3（n∈N^*）．
（II）当a₁=d，S₂=d+2dq，S₃=d+2dq+3dq²，
S₁，S₂，S₃成等比数列，
∴S₂²=S₁S₂，
即（d+2dq）²=d（d+2dq+3dq²），注意到d≠0，
整理得q=-2．
（III）证明：由题设可得S_2n=a₁+a₂q+a₃q²++a_2nq^2n-1，①
T_2n=a₁-a₂q+a₃q²-a₄q³+-a_2nq^2n-1，②
①式减②式，得S_2n-T_2n=2（a₂q+a₄q³+-a_2nq^2n-1）
①式加上②式，得S_2n+T_2n=2（a₁+a₃q²++a_2n-1q^2n-2）
②式两边同乘q，得q（S_2n+T_2n）=2（a₁q+a₃q³++a_2n-1q^2n-1）
所以，（1-q）S_2n-（1+q）T_2n=（S_2n-T_2n）-q（S_2n+T_2n）
=2d（q+q³++q^2n-1）
=

2dq(1-q2n)

1-q2

，n∈N*