圆C截y轴所得弦长为2，被x轴分成的两段圆弧弧长之比为3：1，圆心C到直线l：x-2y=0的距离最近，求圆方程

最佳答案 - 由投票者2008-08-20 14:22:01选出
已知圆满足①截Y轴所得弦长为2 ②被X轴分成两段圆弧，其弧长的比为3 ：1 ③圆心到直线L：X-2Y=0的距离为√5/5，求圆的方程
解：设圆的方程为（x-a)²+(y-b)²=R²........(1)
圆心M（a,b)到直线x-2y=0的距离为√5/5，故有等式：
｜a-2b｜/√5=√5/5,故
a-2b=-1..................(2)
或a-2b=1.................(3)
设圆与Y轴的交点为（0，y1)和(0,y2),将x=0代入（1）式，得：
y²-2by+a²+b²-R²=0
因“圆截Y轴所得弦长为2”，即｜y1-y2｜=2.按韦达定理，有等式：
(y1-y2)²=(y1+y2)²-4y1*y2
=4b²-4(a²+b²-R²)
=4(R²-a²)=4
于是得：R²-a²=1...........(4)
又“被X轴分成两段圆弧，其弧长的比为3 ：1”，设劣弧S1所对的圆心
角为θ1，优弧S2所对的圆心角为θ2，则
S2/S1=Rθ2/Rθ1=θ2/θ1=3/1，故θ1=90˚，θ2=270˚.
设圆弧与X轴相交于A，B两点，则△AMB是等腰直角三角形，因此弦
长｜AB｜=｜X1-X2｜=（√2)R.
令（1）式中的y=0,便得：
x²-2ax+a²+b²-R²=0
于是由韦达定理有：
（x1-x2)²=(x1+x2)²-4x1*x2=4a²-4(a²+b²-R²)
=4(R²-b²)=2R²
即R²-2b²=0...................(5)
由（2）（4）（5）联立解得：a=1,b=1,R²=2.
此时圆的方程为：（x-1)²+(y-1)²=2
由（3）（4）（5）联立解得：a=-1,b=-1,R²=2.
此时圆的方程为：(x+1)²+(y+1)²=2
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C(a,b)
(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
x=0
|y1-y2|=2√(r^2-a^2)=2
r^2=1+a^2......(1)
y=0
x1=2a+√(r^2-b^2)
x2=2a-√(r^2-b^2)
两段圆弧弧长之比为3：1
|x1-x2|=|2b|
2√(r^2-b^2)=|2b|
r^2=2b^2......(2)
x-2y=0,C(a,b)
d=|a-2b|/√5
a=2b,d=0
1+a^2=2b^2
1+4b^2=2b^2
题目出错了