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已知函数f（x）=1?a+lnxx，a∈R（Ⅰ）求f（x）的极值；（Ⅱ）若lnx-kx＜0在（0，+∞）上恒成立，求k的取
已知函数f（x）=1?a+lnxx，a∈R（Ⅰ）求f（x）的极值；（Ⅱ）若lnx-kx＜0在（0，+∞）上恒成立，求k的取
2025-05-14 06:22:48
推荐回答（1个）
回答1：
（Ⅰ）∵f/(x)＝
a?lnx
x2
，令f′（x）=0得x=e
a
当x∈（0，e
a
），f′（x）＞0，f（x）为增函数；
当x∈（e
a
，+∞），f′（x）＜0，f（x）为减函数，
可知f（x）有极大值为f（e
a
）=e
-a
（Ⅱ）欲使lnx-kx＜0在（0，+∞）上恒成立，只需
lnx
x
＜k在（0，+∞）上恒成立，
设g(x)＝
lnx
x
(x＞0)．由（Ⅰ）知，g(x)在x＝e处取最大值
1
e
，∴k＞
1
e
（Ⅲ）∵e＞x
1
+x
2
＞x
1
＞0，由上可知f(x)＝
lnx
x
在（0，e）上单调递增，
∴
ln(x1+x2)
x1+x2
＞
lnx1
x1
即
x1ln(x1+x2)
x1+x2
＞lnx1①，
同理
x2ln(x1+x2)
x1+x2
＞lnx2②
两式相加得ln（x
1
+x
2
）＞lnx
1
+lnx
2
=lnx
1
x
2
∴x
1
+x
2
＞x
1
x
2
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