15问答网 > 3.54和3.55、怎么判别积分的敛散性？看不懂答案是怎么做的？

3.54和3.55、怎么判别积分的敛散性？看不懂答案是怎么做的？

2025-05-18 22:24:48

推荐回答（2个）

回答1：

f(x) =∫(1->x) ln(1+t)/t dt

f(1/x) = ∫(1->1/x) ln(1+t)/t dt

let
u = 1/t
du = -(1/t^2) dt
dt = -du/u^2

∫(1->1/x) ln(1+t)/t dt
=∫(1->x) [ln(1+1/u)/(1/u) ] .[-du/u^2]
=-∫(1->x) [ln(1+1/u)/u ] .du
=-∫(1->x) [ln(1+1/t)/t ] dt
=-∫(1->x) ln[(t+1)/t] /t dt

f(x) + (1/x)
=∫(1->x) ln(1+t)/t dt -∫(1->x) ln[(t+1)/t] /t dt
=∫(1->x) lnt/t dt
=(1/2)[ (lnt)^2] |(1->x)
=(1/2)(lnx)^2

回答2：

其实就是比值比较法。∫0→∞1/（³√x的4次方+1）等价于∫0→∞1/x¾。所以收敛