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双曲线C：x2a2?y2b2＝1的左右焦点分别为F1、F2，过F1的直线与双曲线左右两支分别交于A、B两点，若△ABF2

2025-05-22 14:21:14

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回答1：

根据双曲线的定义，可得|BF₁|-|BF₂|=2a，
∵△ABF₂是等边三角形，即|BF₂|=|AB|
∴|BF₁|-|BF₂|=2a，即|BF₁|-|AB|=|AF₁|=2a
又∵|AF₂|-|AF₁|=2a，
∴|AF₂|=|AF₁|+2a=4a，
∵△AF₁F₂中，|AF₁|=2a，|AF₂|=4a，∠F₁AF₂=120°
∴|F₁F₂|²=|AF₁|²+|AF₂|²-2|AF₁|?|AF₂|cos120°
即4c²=4a²+16a²-2×2a×4a×（-

）=28a²，解之得c=

a，
由此可得双曲线C的离心率e=

故答案为：