已知PA垂直平面ABCD。四边形ABCD是矩形。PA=AD，M,N分别是AB，PC的中点，

连接MN,过M点作直线MO平行于DC,且交PD于O点,连接OA
则MO为三角形PDC的中位线
所以MO平行且等于1/2DC
因为N为AB中点
所以平行且等于1/2DC
所以四边形AOMN为平行四边形
所以MN平行于OA,AN平行于MO
因为PA垂直平面ABCD
所以PA垂直于AB,且PA垂直于AD
因为ABCD为矩形
所以AB垂直于AD
因为PA属于平面PAD,AD也属于平面PAD,PA、AD交于A点
所以BA垂直于平面PAD
所以BA垂直于OA
因为AN平行于MO
所以OA垂直于MO
因为PA=AD
所以三角形PAD为等腰三角形
因为O为PD中点
所以OA垂直于PD
因为OM交PD于O
所以OA垂直于平面PAC
因为MN平行于OA
MN垂直平面CD

在PD上取中点H，连接NH，HA
HN=1/2CD=1/2AB=AM
HN‖CD‖AB‖AM
∴ 四边形AMNH为平行四边形
∴AH‖MN
又△PAD为等腰直角三角形
H为PD中点，易知AH⊥PD
又∵PA⊥平面ABCD
∴PA⊥CD
又∵四边形ABCD是矩形
AD⊥CD
又∵PA∩AD于D
∴CD⊥平面PAD 则AH⊥CD
又∵CD∩PD于D 则 AH⊥平面PDC
又MN平行AH 则MN⊥平面PDC
故MN垂直CD

证明
因为M N为AB PC 中点又三角形中位线可得mn平行bc
又因为bc垂直cd
所以mn垂直cd