电偶极矩的电场强度

在水管中取一个截面[公式]，那么在单位时间内，通过这个截面的水是一定的，即通过这个截面的水的量。那么这个量又是什么呢？

通量通常是针对矢量而言的。在这里，取水流速度的大小[公式]与截面的面积[公式]的乘积[公式]，得到速度通量，再乘上通过该截面的水的质量[公式]，得到动量通量[公式]。

上面这种情况是水流与截面垂直的情况，当水流与截面不垂直的时候，如下图所示，还能这样计算通量吗？

我们先给这个截面增加一个方向，这个方向为截面的法向（即与截面垂直），并且只能与水流的方向平行或者成一个锐角。随后将黄色箭头所代表的矢量，例如动量[公式]，分解，一部分平行于[公式]，另一部分垂直于[公式]。像这样只有平行于[公式]的矢量才能通过这个面，设这个矢量与[公式]的夹角为[公式]，则通量为

[公式]

即一个矢量在某个面元上的通量，只需将这个矢量与面元所构成的矢量做内积即可。

现在考虑电场[公式]的通量。假设有一个静电荷[公式]，它被一个闭合曲面[公式]包围，如下图所示。

在曲面上取一个有向面元[公式]，以法线向外为正方向。则电荷[公式]在面元[公式]处产生的电场的通量为

[公式]

其中[公式]为[公式]与[公式]的夹角（即[公式]与电荷[公式]在该面元处的夹角）。

现在我们来看[公式]的含义。以[公式]为球心，[公式]为半径，作一个球面。那么[公式]就是面元[公式]与该处球面法向的夹角，所以[公式]就是面元[公式]投影到球面上的面积。那么[公式]就是面元[公式]对电荷[公式]所张开的立体角元[公式]。

那么什么是立体角呢？先回忆一下弧度的定义。在一个扇形中，这个扇形的弧长除以扇形的半径，就是这个扇形的圆心角所对应的弧度。立体角与弧度类似，只不过弧度是由圆来定义，而立体角是由球来定义。取一个球面，用这个球面的面积除以这个球的半径的平方，得到的就是这个球面对应的立体角。立体角与弧度一样，它与球的具体半径无关，只表示三维空间中角度的大小。在平面几何中，根据弧度的定义，一个圆周的弧度，可以用圆的周长比上圆的半径，其结果为[公式]。同理，一个球所对应的立体角，可以用球的面积除以球的半径的平方，其结果为[公式]。即封闭曲面对封闭曲面内任意一点，所张的立体角都是[公式][公式]

由于式(2)计算的是面元处的电场通量，要计算整个闭合曲面的通量，还需要对整个闭合曲面[公式]进行积分：