在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC= 2 3 ，M、N分别为A

2025-05-11 15:07:40

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回答1：

（Ⅰ）证明：取AC中点O，连结OS、OB．
∵SA=SC，AB=BC，
∴AC⊥SO且AC⊥BO．
∵平面SAC⊥平面ABC，平面SAC∩平面ABC=AC，
∴SO⊥面ABC，
∴SO⊥BO．
如图所示建立空间直角坐标系O-xyz．
则A (2，0，0)，B(0，2

，0) ，C（-2，0，0）， S(0，0，2

)，M(1，

，0) ， N(0，

，

) ．
∴

=(-4，0，0)

=(0，2

，-2

) ，
∵

=(-4，0，0)?(0，2

，-2

)=0 ，
∴AC⊥SB．（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得

=(3，

，0)，

=(-1，0，

) ，
设

=(x，y，z) 为平面CMN的一个法向量，则

=3x+

y=0 ，

=-x+

z=0 ，所以可取

，-

，1)．又

=(0，0，2

) 为平面ABC的一个法向量，
∴ cos(