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已知数列{an}中，a1=1，an+1=anan+3(n∈N*).(1)求证:{...

2025-05-13 13:34:19

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回答1：

解答:解(1)∵a1=1，an+1═
an
an+3
，
∴
1
an+1
=
an+3
an
=1+
3
an
，
即
1
an+1
+
1
2
=
3
an
+
3
2
=3(
1
an
+
1
2
)，
则{
1
an
+
1
2
}为等比数列，公比q=3，
首项为
1
a1
+
1
2
=1+
1
2
=
3
2
，
则
1
an
+
1
2
=
3
2
•3n-1，
即
1
an
=-
1
2
+
3
2
•3n-1=
1
2
(3n-1)，即an=
2
3n-1
.
(2)bn=(3n-1)•
n
2n
•an=
n
2n-1
，
则数列{bn}的前n项和Tn=
1
1
+
2
2
+
3
22
+…+
n
2n-1

①
1
2
Tn=
1
2
+
2
22
+
3
23
+…+
n
2n
②，
两式相减得
1
2
Tn=1+
1
2
+
1
22
+…+
1
2n-1
-
n
2n
=
1-(
1
2
)n
1-
1
2
-
n
2n
=2-
1
2n-1
-
n
2n
=2-
n+2
2n
，
则 Tn=4-
n+2
2n-1
.