已知：如图，正方形ABCD的边长为1，动点E、F分别在边AB、对角线BD上（点E与点A、B都不重合）且AE=

2025-05-20 15:24:26

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回答1：

（1）过F作FG⊥DC于G，
则∠FGD=∠FGC=90°
∵正方形ABCD中，BD是对角线，
∴∠BDG=45°，
∵∠FGD=90°，DF=x，
∴FG=DG=

x，
∵正方形ABCD的边长为1，
∴GC=1-

x，
在Rt△FCG中，
CF² =CG² +FG² =（1-

x）² +（

x）² =x² -

x+1，
∴y=x² -

x+1（0＜x＜

）；

（2）延长GF交AB于H，
∵∠A=∠ADG=∠DGH=90°，
∴矩形AHGD，
∴AH=DG=

x，
∵AE=

x，
∴HE=

x，
∴GF=HE，
CG=FH，
∵∠CGF=∠FHE=90°，
∴Rt△FCG≌Rt△EFH（SAS），
∴FC=FE，

（3）∵AE=

DF，
∴DF＜AE，
∴若存在以AE、DF、CF的长为边的直角三角形，则DF不可能为斜边，
①若CF为斜边，则x² +（

x）² =x² -

x+12x² +

x-1=0，
x=

，x=

（负值舍去），
②若AE为斜边，则x² +x² -

x+1=（

x）² ，解得：x=

，
∵0＜x＜

，
∴舍去
综上所述当x=