可以，新的劳动合同法出台还有相继出台的《劳动合同法实施条例》具体详细的规定了公司应该经济赔偿的情况和如何进行赔偿。像你这样子的情况根据《劳动合同法实施条例》第七条规定：“用人单位自用工之日起满一年未与劳动者订立书面劳动合同的，兹用工之日起满一个月的次日至满一年的前一日应当依照劳动合同法第八十二条的规定向劳动者每月支付两倍的工资，并视为自用工之日起满一年的当日已经于劳动者订立无固定期限劳动合同，应当立即与劳动者补丁书面劳动合同”。
第二十七条规定：“劳动合同法第四十七条规定的经济补偿的月工资按照劳动者赢得工资计算，包括计时工资或计件工资以及奖金、津贴和补贴等货币性收入。”
《劳动合同法》第四十六条规定：“用工单位有些列情形之一的用人单位影响劳动者支付经济补偿：（一）劳动者依照本法第三十八条规定解除劳动合同的。”
《劳动合同法》第三十八条规定：“用人单位有下列情形的，劳动者可以解除劳动合同：（三）为依法为劳动者缴纳社会保险费的”。
《劳动合同法》第四十七条规定：“经济补偿按劳动者在本单位的年限，每满一年支付一个月工资的标准想劳动者支付。六个月以上不满一年的，按一年计算。”
公司制度再变，也要遵守国家的法律法规，按规定自用工之日起签订用工合同并依法缴纳社会保险费。如果不遵守，公司一定会承担相应的后果。你可以拿着你在公司一直工作的证明例如工资单和最初的公司制定的招工表登记手续等到当地的劳动局仲裁科申请仲裁就可以了。即使你申请仲裁，仲裁只会判公司已与你签订无固定期限劳动合同也没有权利开除你，并且每月给你缴纳社会保险并每月支付你双倍工资。
小一点的公司多数不会和员工签合同，一般都是口头承诺。个人觉得只要薪资和福利与当初对方承诺的相同也就差不多了。而且国家也认定事实证据，不一定非要签合同才有效。
现在法律上就没有正式员工和非正式员工的说法.
只要在单位工作,他给你开资,你就是单位员工.
只要形成事实劳动关系,不怕他不签劳动合同.
注意事实劳动关系资料(工资卡,工作证什么的)到必要时有用的.
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