怎样证明一个N阶可逆实矩阵A可由两个可逆的对称矩阵的乘积表示

利用实Jordan标准型可以证明，任何n阶实矩阵都可以分解成两个实对称矩阵的乘积，A可逆可以得到余下的部分。

把A化到相抵标准型A=PDQ^T，其中P和Q可逆，D=diag{I,0}，再取B=PQ^{-1}, C=QDQ^T即可。

首先需要证明转秩运算和逆运算的可交换性，即对于可逆矩阵A，有(A^-1)'=(A')^-1(A^-1表示A的逆)。

证明如下：

由于A’*(A^-1)'=(A*A^-1)'=E'=E,因此(A')^-1=(A^-1)'。

这样可以容易的得到上面的结论，即：若A可逆对称，则A^-1可逆对称。

这实际上就是要根据A'=A证明(A^-1)'=A^-1

而有(A^-1)'=(A')^-1=A^-1

矩阵可逆

在线性代数中，给定一个n阶方阵A，若存在一n阶方阵B使得AB=BA=E（或AB=E、BA=E任满足一个），其中E为n阶单位矩阵，则称A是可逆的，且B是A的逆阵，记作A^(-1)。

若方阵A的逆阵存在，则称A为非奇异方阵或可逆方阵。

矩阵可逆的充分必要条件：

AB=E。

A为满秩矩阵（即r(A)=n）。

A的特征值全不为0。

A的行列式|A|≠0，也可表述为A不是奇异矩阵（即行列式为0的矩阵）。

利用实Jordan标准型可以证明，任何n阶实矩阵都可以分解成两个实对称矩阵的乘积，A可逆可以得到余下的部分。

把A化到相抵标准型A=PDQ^T，其中P和Q可逆，D=diag{I,0}，再取B=PQ^{-1}, C=QDQ^T即可。

首先需要证明转秩运算和逆运算的可交换性，即对于可逆矩阵A，有(A^-1)'=(A')^-1(A^-1表示A的逆)。证明如下

由于A’*(A^-1)'=(A*A^-1)'=E'=E,因此(A')^-1=(A^-1)'。

这样可以容易的得到上面的结论，即：若A可逆对称，则A^-1可逆对称。

这实际上就是要根据A'=A证明(A^-1)'=A^-1

而有(A^-1)'=(A')^-1=A^-1

扩展资料：

每个实方形矩阵都可写作两个实对称矩阵的积，每个复方形矩阵都可写作两个复对称矩阵的积。

若对称矩阵A的每个元素均为实数，A是Symmetric矩阵。

一个矩阵同时为对称矩阵及斜对称矩阵当且仅当所有元素都是零的时候成立。

如果X是对称矩阵，那么对于任意的矩阵A，AXAT也是对称矩阵。

n阶实对称矩阵，是n维欧式空间V（R）的对称变换在单位正交基下所对应的矩阵。

参考资料来源：百度百科-对称矩阵

利用实Jordan标准型可以证明任何n阶实矩阵都可以分解成两个实对称矩阵的乘积，A可逆可以得到余下的部分