大一高数（1+1⼀n）^n展开式怎么得来的，牛

用二项式定理展开，用（1+1/n）∧n隐函数求导不方便，不考虑泰勒公式。
二项式定理，
（1+1/n）^n=ΣC(n,i)n^i＝1+C（1，n）*1^（n-1）*（1/n）^1+C（2，n）*1^（n-2）*（1/n）^2+...
=1+n*1/n+n(n-1)/2!*1/n^2+...

（1+1/n)^n=∑(r=0→n)C(r|n)1^(n-r)(1/n)^r
由于C(r|n)为二项式系数，其通项公式为C(r|n)=n!/r!*(n-r)!
带入到∑(r=0→n)C(r|n)1^(n-r)(1/n)^r得到∑(r=0→n)n!/n^2*r!*(n-r)!=∑(r=0→n)n(n-1)...(n+1-r)/n^n*r!*==1+∑(r=0→n)[(-1)^n](n+1)/(n!)

解：求和的表达式中通式是不是“[(-1)^n](n+1)/(n!)”？若是，分享一种解法。
原式=1+∑[(-1)^n](n+1)/(n!)，n=1,2，……，∞。
又，∑[(-1)^n](n+1)/(n!)=∑[(-1)^n]/[n-1)!]+∑[(-1)^n]1/(n!)=-∑[(-1)^n]/(n!)+∑[(-1)^n]/(n!)，而前一个合式中的n=0,1，……、后一个合式中n=1,2，……，将前面拆分出来的1与后一个合式合并，均为n=0,1，……，∞，
∴原式=0。