设函数f(x)=xe kx (k≠0)，(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(Ⅱ)求函数f(x)的单调区间；(Ⅲ)

2025-05-14 12:51:16

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回答1：

解：(Ⅰ)

，f′(0)=1，f(0)=0，
曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y=x。
(Ⅱ)由

，得

，
若k＞0，则当

时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；
当

时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；
若k＜0，则当

时，f′(x)＞0，函数f(x)单调递增；
当

时，f′(x)＜0，函数f(x)单调递减；
(Ⅲ)由(Ⅱ)知，若k＞0，则当且仅当

，即k≤1时，函数f(x)在(-1，1)内单调递增；
若k＜0，则当且仅当

，即k≥-1时，函数f(x)在(-1，1)内单调递增；
综上可知，函数f(x)在区间(-1，1)内单调递增时，k的取值范围是[-1，0)∪(0，1]。