设向量组a1 a2 …as为齐次线性方程组AX=0的一个基础解系,Aβ不等于0,证明线

a1,a2,.....,as构成AX=0的基础解系，故所有满足方程的X都可以被其线性表示，则：

в与a1,a2,....,as线性无关。故B中所有列向量皆线性无关，只有零解。

齐次线性方程组

1、齐次线性方程组的两个解的和仍是齐次线性方程组的一组解。

2、齐次线性方程组的解的k倍仍然是齐次线性方程组的解。

3、齐次线性方程组的系数矩阵秩r(A)=n，方程组有唯一零解。

4、齐次线性方程组的系数矩阵秩r(A)

要证明By＝0只有零解，只要证明B的列向量组线性无关，也就是向量组β，β+α1，β+α2，...，β+αs线性无关。

证明：设x0β+x1(β+α1)+x2(β+α2)+...+xs(β+αs)＝0，整理下是
(x0+x1+x2+...+xs)β+(x1α1+x2α2+...+xsαs)＝0。 （1）
若x0+x1+x2+...+xs≠0，则β＝-(x1α1+x2α2+...+xsαs)/(x0+x1+...+xs)，是Ax=0的解，即Aβ=0，与已知矛盾。
所以x0+x1+x2+...+xs＝0。 （2）
此时，（1）式变成x1α1+x2α2+...+xsαs＝0。
因为α1，α2，...，αs是Ax=0的基础解系，是线性无关的，所以x1=x2=...=xs=0。
代入（2），x0=0。
所以由x0β+x1(β+α1)+x2(β+α2)+...+xs(β+αs)＝0得出x0=x1=x2=...=xs=0。

所以向量组β，β+α1，β+α2，...，β+αs线性无关。
所以方程组By=0只有零解。

a1,a2,.....,as构成AX=0的基础解系，故所有满足方程的X都可以被其线性表示，则
в与a1,a2,....,as线性无关。故B中所有列向量皆线性无关，古只有零解。