已知正方形ABCD和正方形AEFG有一个公共点A,点G、E分别在线段AD、AB上。

（1）不正确．
若将正方形AEFG绕点A顺时针旋转45°，
这时点F落在边AB上（如图2所示，把D和G连改画成D和F连就行），
根据“垂线段最短”的性质可知DF＞AD，
而AD＝AB，
BF是AB的一部分，
因此有DF＞BF，
即此时线段DF与BF的长不相等．

（2）连结BE，，BE＝DG．理由如下：
因为四边形ABCD，
AEFG是正方形，
所以AD＝AB，
AG＝AE，
又∠DAG＋∠GAB＝90°，
∠GAB＋∠BAE＝90°，
所以∠DAG＝∠BAE，
因此△ABE可以看作是由△ADG绕点A顺时针旋转而得，
故BE＝DG．

也可用全等三角形证明
如下：
连结BE，则线段BE=DG，
理由是DA=AB，
∠DAG=∠BAE，
AG=AE，
△DAG≌△BAE（SAS）
所以DG=BE

1楼说的不精确，“将正方形AEFG绕点A顺时针方向旋转45度，这时点F在线段AB上”，如果此句成立，可以推出AF+BF=AB，若AF>AB时（完全可能的），AF+BF>AB,所以证明不准确。
我的证明。
反证法
若AGFE顺时针转动后，DF=FB，则△ADF≌△ABF（AD=AB已知，AF为公共边，三边相等的三角形为全等三角形）
由于△ADF≌△ABF
所以∠DAF=∠BAF，
由于AGFE顺时针转动后∠DAF=∠DAC+∠CAF，∠BAF=∠BAC-∠CAF
很容易证明∠DAC=∠BAC=45
所以当∠CAF≠0时（即发生转动），∠DAF≠∠BAF，所以△ADF与△ABF不全等，所以BF≠DF（2边相等的不全等三角形，第三边一定不相等）

2，已知G为线段AD的一点，所以AG+GD=AD，若G移动到G’时，DG=DG’，那么DG’+AG=AD。
由于G移动到G’时，即AGFE顺时针转动，此时AG’+DG’>AD（三角型两边之和大于第3边），由于DG=DG’（正方形边长没有改变），所以DG’+AG>AD,所以DG=DG’不成立，所以DG≠DG’

（1）证明：∵四边形AEFG是正方形

∴GF=EF=AG=AE∠DGF=∠BEF=90°

∵四边形ABCD是正方形

∴AD=AB

∴AD-AG=AB-AE即 DG=BE

∴△DGF≌△BEF

∴BF=DF  

（2）BF≠DE  连接BE 有BE=DG

理由如下：∵∠DAB=∠GAE=90°

∴∠DAG=∠BAE

又AD=AB    AG=AE

∴△DAG≌△BAE 

∴BE=DG