解：（1）∵抛物线经过点A（0，3），
∴2k+1=3，
∴k=1；（3分）
（2）作PD⊥x轴于点D，交直线AB于E点，
∵k=1时，抛物线解析式为y=-x2+2x+3，则A（0，3），B（3，0），
∴直线AC解析式为y=-x+3，
∵点P（m，n）在抛物线上，
∴n=-m2+2m+3，PE=（-m2+2m+3）-（-m+3）=-m2+3m，
∴s=
×PE×OB=1 2
（-m2+3m）=-3 2
（m-3 2
）2+3 2
，27 8
∴当m=
时，s取最大值为3 2
；（7分）27 8
（3）设圆的半径为r．
①当EF在x轴上方时，
由抛物线及直线与圆相切的性质可得：点F的坐标为（r+1，r）
代入y=-x2+2x+3得：-（r+1）2+2（r+1）+3=r，
即r2+r-4=0
解得：r＝
（r取正数）（10分）?1±
17
2
②当EF在x轴下方时，
由抛物线及直线与圆相切的性质可得：点F的坐标为（r+1，-r），
代入y=-x2+2x+3得：-（r+1）2+2（r+1）+3=-r，
即r2-r-4=0，
解得：r＝
（r取正数）1±
17
2
由①②知：r＝
或r＝?1+
17
2
．（13分）1+
17
2
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