已知向量组a1 a2 a3 线性无关，证 a1a2a1+ a2+ a3也线性无关。

对任意常数满足，
k1a1+k2(a1+a2)+k3(a1+a2+a3)=0
有，
(k1+k2+k3)a1+(k2+k3)a2+k3a3=0
由于a1,a2,a3线性无关，则，
k1+k2+k3=0
k2+k3=0
k3=0
解得：
k1=k2=k3=0
因此向量组a1, a1+a2,a1+a2+a3线性无关。

拓展资料：

在向量空间V的一组向量A:，如果存在不全为零的数 k1, k2, ···,km , 使则称向量组A是线性相关的[1] ，否则数 k1, k2, ···,km全为0时，称它是线性无关。

由此定义看出是否线性相关，就看是否存在一组不全为零的数 k1, k2, ···,km使得上式成立。即是看。这个齐次线性方程组是否存在非零解，将其系数矩阵化为最简形矩阵，即可求解。此外，当这个齐次线性方程组的系数矩阵是一个方阵时，这个系数矩阵存在行列式为0，即有非零解，从而线性相关。

参考资料：线性相关-百度百科

假设a1、a2、a1+
a2+
a3线性相关，则存在一组不全为零的数k1、k2、k3，

使得k1a1+k2a2+k3(a1+
a2+
a3)=0，即(k1+k3)a1+(k2+k3)a2+k3a3=0；

又因为a1、a2、a3
线性无关，所以k1+k3=0，k2+k3=0，k3=0；k1=0，k2=0，

与题设矛盾，所以a1、a2、a1+
a2+
a3线性无关。

设有一组系数x，y，z，满足x（a1+a2）+y（a2+a3）+z（a1+a3）=0
经过整理，得到（x+z）a1+（x+y）a2+（y+z）a3=0
因为a1，a2，a3线性无关。根据线性无关的定义可知
x+z=0
1式
x+y=0
2式
y+z=0
3式
1式+2式+3式得到
2x+2y+2z=0，即x+y+z=0
4式
4式-1式，得到y=0
4式-2式，得到z=0
4式-3式，得到x=0
所以x=0，y=0，z=0
根据上面的证明，如果有一组系数x，y，z，满足x（a1+a2）+y（a2+a3）+z（a1+a3）=0的画，就必须是x=y=z=0
无法找到一组不全为0的系数x，y，z，来满足x（a1+a2）+y（a2+a3）+z（a1+a3）=0
所以根据线性无关的定义a1+a2，a2+a3，a3+a1是线性无关的。