由 x=cosθ y=1+sinθ （θ为参数，θ∈R），得x2+（y-1）2=1．所以给出的圆C的圆心是（0，1），半径为1．又直线l：x-y-1=0，由点到直线的距离公式得到圆心到直线的距离d= |1×0-1×1-1| 12+(-1)2 = 2 ＞1．所以直线l与圆C的位置关系为相离．故选C．
