已知X Y Z为正实数，且不全相等，求证X^2⼀Y+Y^2⼀Z+Z^2⼀X>X+Y+Z

利用排序不等式
不妨设x>=y>=z
x^2>=y^2>=z^2
1/z>=1/y>=1/x
左边是乱序和 右边是反序和
乱序和>=反序和 当且仅当x=y=z时等号成立
又X Y Z为正实数，且不全相等
故X^2/Y+Y^2/Z+Z^2/X>X+Y+Z

排序不等式是高中数学竞赛大纲、新课标 要求的基本不等式。
设有两组数 a_1 , a_2 ,…… a_n; b_1 , b_2 ,…… b_n 满足 a_1 ≤ a_2 ≤……≤ a_n, b_1 ≤ b_2 ≤……≤ b_n ，则有
a_1 b_n + a_2 b_{n-1}+ ... + a_n b_1
≤ a_1 b_{t_1} + a_2 b_{t_2} +……+ a_n b_{t_n}
≤ a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_n b_n.
式中t_1，t_2，……，t_n是1，2，……，n的任意一个排列， 当且仅当 a_1 = a_2 = ... = a_n 或 b_1 = b_2 = ... = b_n 时等号成立。
排序不等式常用于与顺序无关的一组数乘积的关系。可以先令a_1 ≤ a_2 ≤ a_3 ≤ ... ≤ a_n，确定大小关系。
使用时常构造一组数，使其与原数构成乘积关系，以便求解。适用于分式、乘积式尤其是轮换不等式的证明。
以上排序不等式也可简记为： 反序和≤乱序和≤同序和.
排序不等式的证明：逐步调整法。
当n=2时，不妨设a_1 ≤ a_2， b_1 ≤ b_2，那么
a_1 b_1 + a_2 b_2 - ( a_2 b_1 + a_1 b_2)
= ( a_1 - a_2 )( b_1 - b_2 )
≥0.
因此n=2时成立。
当n>2时，只需分别证明两个不等式即可。
不妨设a_1 ≤ a_2 ≤ ... ≤ a_n，b_1 ≤ b_2 ≤ ... ≤ b_n。
A. 乱序和≤同序和
考察 a_1 b_{t_1} + a_2 b_{t_2} + ... + a_n b_{t_n}。
如果t_1=1，那么考察t_2。如果t_i=i，i=1, ..., k，那么考察t_{k+1}。
现不妨设第一个满足t_k>k的项脚标为m，即a_1 b_1 + a_2 b_2 + ... + a_m b_{t_m} + ... + a_n b_{t_n}，t_m>m。
并且找到含有b_m的项，设其为a_l b_m，l>m。
于是，由于a_m ≤ a_l，b_{t_m} ≥ b_m，所以a_m b_m + a_l b_{t_m} ≥ a_m b_{t_m} + a_l b_m.
因此，这两项排成同序和后变大。
调整后的式子变为
a_1 b_1 + a_2 b_2 + ... + a_m b_{t_m} + ... + a_n b_{t_n}
≤a_1 b_1 + a_2 b_2 + ... + a_m b_m + ... + a_n b_{t_n}
因为这样的项是有限的，所以经过有限步调整后就得到同序和，从而证明了乱序和≤同序和。
B. 反序和≤乱序和
与A的证明完全相似，每步进行缩小后经有限步即可证明。

证明：
x^2/y+y^2/z+z^2/x>x+y+z
<=>x^2/y+y^2/z+z^2/x-x-y-z>0
<=>(x^2/y-2x+y)+(y^2/z-2y+z)+(z^2/x-2z+x)>0
<=>(x-y)^2/y+(y-z)^2/z+(z-x)^2/x>0

由于x,y,z不全相等，故上式大于0恒成立。

证毕。

原不等式有轮换对称性
假设X>Y>Z

左边乘XYZ得

ZX^3+XY^3+YZ^3

右边乘XYZ得
YZX^2+XZY^2+XYZ^2

左右相减得
(XZ-YZ)X^2+(XY-XZ)Y^2+(YZ-XY)Z^2 ————“A式”

因为X>Y>Z，在A式中前两项为正，后一项为负；且X^2>Y^2>Z^2

所以“A式”>(XZ-YZ)Z^2+(XY-XZ)Z^2+(YZ-XY)Z^2 =0

所以 左-右>0

命题得证

PS:最后一步为放缩法^_^