数学问题:已知线段AB在平面α内,A,B两点到平面α的距离分别是1和3

1、B在平面射影为C、D，当A、B两点在同侧时，AB中点M至平面距离就是梯形的中位线，（AC+BD）/2=2，A、B两点在平面异侧时，C和D是A、B的射影，延长AC，从B作CD平行线交AC延长线于E，M的射影为N，延长NM与BE相交于Q，AE=AC+BD=4，QM为中位线，QM=2。QN=BD=3，MN=QN-QM=1

故中点至平面距离是2或1。

2、四边形的四边的中点连线构成平行四边形，因它们是各三角形的中位线，平行底边且是底边的一半，HG‖AC，FG‖BD，

S四边形=HG*FG*sin30°=3*2*1/2=3

3、P是动点，三角形PAB中，根据两边之差小于第三边的原理，PA-BP

第一题，分两种情况，第一种是AB在平面的上面 第二种是AB穿过平面。分清楚就很好做了
第二题，你先推导平行四边形的面积S=ABSIN夹角 这个公式你可以画一个四边形连接对角线，三角形的面积S=二分之一ABSIN夹角，而两个三角形面积相等，所以得证。然后你再连接空间四边形的对角线 问题就好解了
第三题，在三角形PAB中，PA-PB小于AB所以只有PAB在同一直线上时，PA-PB=AB最大 过B作BT平行于A1B1，交AA1于D,则在三角形ADB中用勾股定理即可

太复杂了 脑子 乱

1
画过A，B两点的平面α的垂面β，则α在β上的投影为一直线。则可知有两种情况，分别为A，B在α的同侧和异侧。
同侧时，为
（1+3）/2=2；
异侧时，为
（3-1）/2=1。
2
作图可看出，EF平行且相等于（1/2）AC，GH也平行且相等于（1/2）AC，故E,F,G,H四点共面。而且，EH和FG皆平行且相等于（1/2）BD。因此，EF与EH之间同AC与BD一样，也30度角。E,F,G,H四点构成平行四边形。EF=（1/2）AC=3；EH=（1/2）BD=2；
则，根据正弦定理，S平行四边形EFGH=2·S△EFH=3×2×sin30°=3。
3
由三角形的三边关系可知，当P，A，B不共线时，PA-PB＜AB;
而当P，A，B共线时,PA-PB=AB,故当P，A，B共线时PA-PB最大;其值等于AB.
由基础立体几何知识可知,AB=√[A1B1^2
+
(AA1
-BB1)^2]=√[(3√3)^2
+(4-1)^2]=6.
即:PA-PB的最大值为
6