求(1+x^3)分之1的不定积分

∫1/(1+x^3)dx

＝1/3×∫[1/(x+1)－(x-2)/(x^2-x+1)]dx

＝1/3×ln|x+1|－1/3×∫(x-2)/(x^2-x+1)dx

＝1/3×ln|x+1|－1/3×∫(x-1/2-3/2)/(x^2-x+1)dx

＝1/3×ln|x+1|－1/6×ln(x^2-x+1)dx＋1/√3×arctan[(2x-1)/√3]＋C

证明

如果f(x)在区间I上有原函数，即有一个函数F(x)使对任意x∈I，都有F'(x)=f(x)，那么对任何常数显然也有[F(x)+C]'=f(x).即对任何常数C，函数F(x)+C也是f(x)的原函数。这说明如果f(x)有一个原函数,那么f(x)就有无限多个原函数。

设G(x)是f(x)的另一个原函数,即∀x∈I，G'(x)=f(x)。于是[G(x)-F(x)]'=G'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0。由于在一个区间上导数恒为零的函数必为常数，所以G(x)-F(x)=C’(C‘为某个常数)。

这表明G(x)与F(x)只差一个常数.因此,当C为任意常数时，表达式F(x)+C就可以表示f(x)的任意一个原函数。也就是说f(x)的全体原函数所组成的集合就是函数族{F(x)+C|-∞

由此可知，如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数，那么F(x)+C就是f(x)的不定积分，即∫f(x)dx=F(x)+C，因而不定积分∫f(x) dx可以表示f(x)的任意一个原函数。

∫1/(1+x^3)dx
＝1/3×∫[1/(x+1)－(x-2)/(x^2-x+1)]dx
＝1/3×ln|x+1|－1/3×∫(x-2)/(x^2-x+1)dx
＝1/3×ln|x+1|－1/3×∫(x-1/2-3/2)/(x^2-x+1)dx
＝1/3×ln|x+1|－1/6×∫(2x-1)/(x^2-x+1)dx＋1/2×∫1/(x^2-x+1)dx
＝1/3×ln|x+1|－1/6×ln(x^2-x+1)dx＋1/2×∫1/(x-1/2)^2+3/4)dx
＝1/3×ln|x+1|－1/6×ln(x^2-x+1)dx＋1/2×2/√3×arctan[(2x-1)/√3]＋C
＝1/3×ln|x+1|－1/6×ln(x^2-x+1)dx＋1/√3×arctan[(2x-1)/√3]＋C

ArcTan[(-1 + 2 x)/Sqrt[3]]/Sqrt[3] + 1/3 Ln[1 + x] -
1/6 Ln[1 - x + x^2]