15问答网 > 已知a,b∈R,求证：a^2⼀c + b^2⼀(1-c) ≥(a+b)^2

已知a,b∈R,求证：a^2⼀c + b^2⼀(1-c) ≥(a+b)^2

这道题怎么做？要详细步骤

2025-06-23 01:07:11

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回答1：

1.用柯西不等式
(a^2+b^2)(x^2+y^2)>=(ax+by)^2,当且仅当a/x=b/y时等号成立
先证明柯西不等式
(a^2+b^2)(x^2+y^2)-(ax+by)^2
=a^2y^2+b^2x^2-2abxy
=（ay-bx)^2>=0
当ay-bx=0时等号成立。
故(a^2+b^2)(x^2+y^2)>=(ax+by)^2
下面直接用
（a^2/c + b^2/(1-c) ）（c+1-c)>=(a+b)^2