请教2个小问题，微积分的

1。这样的例子不存在。
证明：
设f(u),g(x)分别是复合函数f(g(x))的外函数和内函数。由题,f(u)可积，g(x)连续。
由f(u)可积，设f(u)的不连续点的集合U，则m(U)=0，U至多可数。设u0属于U，则集合Eu0={x0|u0=g(x0)，f(g(x0))是f(g(x))的不连续点}的测度只能是0。否则，若m(Eu0)>0,则必有x轴(实数集R)上测度大于0的区间I属于Eu0，I中的每个内点x0都取值f(u0),从而f(g(x))在x0点连续,与Eu0的定义矛盾。设集合EU=Eu0的并集(u0属于U),则EU至多可数，从而m(EU)=0
设V是f(u)的所有连续点的集合。任取v0属于V,则对任意的x0，f(x0)=v0，f(g(x))在x0点连续。
从而EU是f(g(x))的所有不连续点的集合。
因为m(EU)=0,所以f(g(x))可积。

注1：实变函数Riemann可积的充要条件是不连续点的测度为0。本定理一般出现在在实变函数课程中。但徐森林的《数学分析》教材中有证明。可去图书馆参考。

绝对是Riemann可积的充要条件。你查查文献再问问题。

注2：证明的思想是，f(u)的连续点依然是f(g(x))的连续点；故f(g(x))的不连续点只能在f(u)的不连续点上。讨论f(u)的不连续点的定义域，可知，f(g(x))的不连续点的测度为0
注3：应该也能用分划的方法证明，只是麻烦

2.如果一个函数既有原函数，又有界，那么在闭区间上必然可积

证明：设f(x)在[a,b]上有界，存在[a,b]上的函数F'(x)=f(x)。
任取[a,b]的分划S:
a=x0取标志点组e1,e2,...,en, x(i-1)<=ei<=xi。
则Riemann和为
E=sigma(f(ei)*(xi-x(i-1))) i=1,..,n
当|S|=max[xi-x(i-1)],i=1,...,n足够小时
F(xi)-F(x(i-1))=F'(ei)(xi-x(i-1))+o(|S|)
=f(ei)*(xi-x(i-1))+o(|S|)
即可用F(xi)-F(x(i-1))近似代替f(ei)*(xi-x(i-1))，误差任意小。故
E=sigma(F(xi)-F(x(i-1))+o(|S|)
=|F(b)-F(a)|+o(|S|)
从而limE=(F(b)-F(a) |S|->0
由于F(x)可导，故连续，有界，所以F(b)-F(a)为有限值。故f(x)在[a,b]上可积，积分值为F(b)-F(a)。

至于你说的有界条件，用在了标志点组的选取上；同时也是Riemann可积的必要条件