15问答网 > 如图，AC是圆O的直径，点B在圆O上，∠BAC=30°，BM⊥AC交AC于点M，EA⊥平面ABC，FC∥EA，AC=4，EA=3，FC=

如图，AC是圆O的直径，点B在圆O上，∠BAC=30°，BM⊥AC交AC于点M，EA⊥平面ABC，FC∥EA，AC=4，EA=3，FC=

2025-05-17 04:52:33

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回答1：

解：（1）证明：∵EA⊥平面ABC，BM伡平面ABC，
∴EA⊥BM．
又∵BM⊥AC，EA∩AC=A，
∴BM⊥平面ACFE，而EM伡平面ACFE，
∴BM⊥EM．
∵AC是圆O的直径，
∴∠ABC=90°．
又∵∠BAC=30°，AC=4，
∴

，AM=3，CM=1．
∵EA⊥平面ABC，FC∥EA，

∴FC⊥平面ABCD．
∴△EAM与△FCM都是等腰直角三角形．
∴∠EMA=∠FMC=45°．
∴∠EMF=90°，
即EM⊥MF（也可由勾股定理证得）．
∵MF∩BM=M，
∴EM⊥平面MBF．而BF伡平面MBF，
∴EM⊥BF．
（2）延长EF交AC于G，连BG，过C作CH⊥BG，连接FH．
由（1）知FC⊥平面ABC，BG伡平面ABC，
∴FC⊥BG．而FC∩CH=C，
∴BG⊥平面FCH．
∵FH伡平面FCH，
∴FH⊥BG，
∴∠FHC为平面BEF与平面ABC所成的二面角的平面角．
在Rt△ABC中，
∵∠BAC=30°，AC=4，
∴

．
由

，得GC=2．
∵

．
又∵△GCH～△GBM，
∴

，则

．
∴△FCH是等腰直角三角形，∠FHC=45°．
∴平面BEF与平面ABC所成的锐二面角的余弦值为

．