15问答网 > 已知函数f(x)=根号(x的平方+2)（x＞0）求证0＜f(x)-x＜1⼀x

已知函数f(x)=根号(x的平方+2)（x＞0）求证0＜f(x)-x＜1⼀x

(2)试求m=f(1002)+f(1003)+f(1004)+...+f(2005)的整数部分

2025-05-13 02:05:59

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回答1：

证明：f（x）=√（x^2+2）>√x^2=x,即f(x)-x>0
所以√（x^2+2）+x>x+x=2x，即
1/[√（x^2+2)+x]<1/（2x）
√（x^2+2）-x<1/x
即f(x)-x＜1/x
所以0＜f(x)-x＜1/x

（2）m=f(1002)+f(1003)+f(1004)+...+f(2005)
>1002+1003+.....+2005=502*3007=1509514

m=f(1002)+f(1003)+f(1004)+...+f(2005)
<1002+1003+.....+2005+(1/1002+1/1003+....+1/2005)
<502*3007+(1/1004+1/1004+1/1004.....+1/1004]=502*3007+1
所以m的整数部分=502*3007=1509514