15问答网 > 下面这几题的敛散性，和级数的和怎么求？∑（1⼀√n-1⼀√n+1), ∑(-1)^n-1⼀3^n, ∑1⼀a^2n-1

下面这几题的敛散性，和级数的和怎么求？∑（1⼀√n-1⼀√n+1), ∑(-1)^n-1⼀3^n, ∑1⼀a^2n-1

2025-05-22 20:52:59

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回答1：

　　1）由
　　Sn = ∑(k=1~n)[1/√k - 1/√(k+1)]
　　= 1 - 1/√(n+1)
　　→ 1 (n→inf.)，
得知∑(n=1~inf.)[1/√n - 1/√(n+1)] = 1。

　　2）由
　　Sn = ∑(k=1~n)[(-1)^(k-1)]/3^k
　　 = (1/3)∑(k=1~n)[(-1/3)^(k-1)]
　　= (1/3)[1-(-1/3)^n]/[1-(-1/3)]
　　→ (1/3)(3/4)= 1/4 (n→inf.)，
得知
　　　　∑(n=1~inf.)[(-1)^(n-1)]/3^n = 1/4。

　　3）由
　　Sn = ∑(k=1~n)[1/a^(2k-1)]
　　 = (1/a)*∑(k=1~n)[(1/a^2)]^(k-1)
　　= … （同2））
得知
　　∑(n=1~inf.)[1/a^(2n-1)] = …