解：（1）当点E为棱DD1的中点时，会使得EF⊥B1C．下面证明：…（2分）
∵E、F分别为棱DD1、BD的中点，∴EF∥BD1，…（3分）
∵B1C⊥BC1，B1C⊥C1D1，又BC1∩C1D1=C1，∴B1C⊥平面BC1D1，∴B1C⊥BD1
同理可得B1C⊥BD，又BD∩BD1=B，
故BD1⊥平面AB1C，所以B1C⊥BD1…（5分）
即EF⊥B1C；…（6分）
（2）由（1）可知：EF⊥B1C，又EF⊥FC，故EF⊥平面B1CF，
又EF=
BD1=1 2
．…（7分）
3
CF=
，B1C=2
2
，B1F=
2
，满足勾股定理…（8分）
6
故S△B1CF=
×1 2
×
2
=
6
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