4X^2+2Y^2+XY=1,求2x+y最大值

2025-06-22 23:14:36

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回答1：

答：
设2x+y=k，则y=k-2x
代入：4x²+2y²+xy=1
4x²+2(k-2x)²+x(k-2x)=1
整理得：
10x²-7kx+2k²-1=0
方程存在实数解
判别式=(-7k)²-4*10*(2k²-1)>=0
整理得：k²<=40/31
所以：-2√310/31<=k<=2√310/31

所以：2x+y的最大值为2√310/31

回答2：

2x=y代入前面的方程,解得y=√14/7 ,2x+y=2√14/7 不是2√10/5

4X^2+2Y^2+XY=1
(2X+ Y/4)^2 +(√31/4 Y)^2=1
令x =2X+ Y/4, y=√31/4 Y
则 x^2+y^2=1 这是一个圆。
而 2X+Y=x+(3/√31)y
令c=x+(3/√31)y
则有 |c|/√(1+9/31) <=1 (圆心到相交直线的距离小于等于圆半径）
|c|<=√(40/31)