设T是螺旋线x=acost,y=asint,z=bt上参数t从0到π的一段,求∫T xydx+(x-y)dy+x^2dz

由螺旋线x=acost，y=asint，z=bt可知：

原式＝积分（从0到2pi）(asint*(－asint)+bt*(acost)+acost*b)dt

＝积分（从0到2pi）(abcost+abtcost－a^2sin^2t)dt

＝2pi*(－a^2/2)

＝－a^2*pi

所以∫T xydx+(x-y)dy+x^2dz的答案为－a^2*pi。

扩展资料

数学积分求解的技巧：

换元法是数学当中经常用到的方法，无论是求导计算还是一些复杂函数的运算，我们经常会使用换元法来降低问题的难度。同样，在不定积分的求解当中，我们一样可以使用换元法来进行。通常换元法分成两类。

1、第一类换元法比较容易理解，其实是链式求导法则的逆运算。

2、在第一类换元法当中我们用一个新的变量来代替了一个相对比较复杂的函数，比如我们用u代替了2x或者是2x+3等函数，简化了后续的运算。而第二类换元法的思路刚好相反，我们将原本单一的变量转化成一个复杂的表达式。

由T的参数方程及关于坐标的曲线积分公式得：
原式=∫(0→π)[acost*asint*(-asint)+(acost-asint)*acost+(acost)^2*b]dt
=a^2(1+b)π/2