当x∈(0,1)时,不等式x눀<loga(x+1)恒成立求a的取值范围

2025-06-21 21:39:17

推荐回答（1个）

回答1：

x²0x+1；当a>1时有：a^x²

当0x+1 =>Ln（a^x²)>Ln(x+1) => x²Lna>Ln(x+1), =>Lna>Ln(x+1)/x²;

令f(x)=Ln(x+1)/x²;，求导得导函数为： [x-2(x+1)Ln(x+1)]/[(x+1)x^3]，在x∈(0,1)处，分母大于0，对分子求导得：-1-2Ln(x+1)小于0，分子为递减函数。将0代入分子求得0，则在x∈(0,1)处，分子均小于0，所以f(x)为减函数。f(x)最大值为x趋于0时的值，为无穷大，则a不能满足Lna>Ln(x+1)/x²，此种情况是不可能的。
当a>1时有：a^x²Ln2,

故Lna<=Ln2 =>a<=2
所以a的取值范围为： 1

当x∈(0,1)时,不等式x눀<loga(x+1)恒成立 求a的取值范围