已知平面直角坐标系xoy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为 F(- 3 ，0) ，右顶点为D（2

2025-05-23 12:15:36

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回答1：

解；（1）由题意可设椭圆的标准方程为

x 2

a 2

y 2

b 2

=1 ，c为半焦距．
∵右顶点为D（2，0），左焦点为 F(-

，0) ，
∴a=2， c=

， b 2 = a 2 - c 2 = 2 2 -(

) 2 =1 ．
∴该椭圆的标准方程为

x 2

+ y 2 =1 ．
（2）设点P（x₀ ，y₀ ），线段PA的中点M（x，y）．
由中点坐标公式可得

x 0 +1

y 0 +

，解得

x 0 =2x-1

y 0 =2y-

．（*）
∵点P是椭圆上的动点，∴

=1 ．
把（*）代入上式可得

(2x-1 ) 2

+(2y-

) 2 =1 ，可化为 (x-

) 2 +

(y-

) 2

=1 ．
即线段PA的中点M的轨迹方程为一焦点在x轴上的椭圆 (x-

) 2 +

(y-

) 2

=1 ．
（3）①当直线BC的斜率不存在时，可得B（0，-1），C（0，1）．
∴|BC|=2，点A (1，

) 到y轴的距离为1，∴ S △ABC =

×2×1 =1；
②当直线BC的斜率存在时，设直线BC的方程为y=kx，B（x₁ ，y₁ ），C（-x₁ ，-y₁ ）（x₁ ＜0）．
联立

y=kx

x 2 +4 y 2 =4

，化为（1+4k² ）x² =4．解得 x 1 =-

1+4 k 2

，
∴ y 1 =-

1+4 k 2

．
∴|BC|=

1+4 k 2

) 2 +(-