第九题 高中数学函数 求解析过程 谢谢

首先,需要说明,对红色函数求导后,才能知道a∈(-无穷大,1)
然而,这个求导不会降次

附上计算机绘图结果

f(x)=－x³＋ax²＋x－1=0

x显然不为零，则可以变形为－x²＋ax＋1=1/x

令g(x)=－x²＋ax＋1，h(x)=1/x

g(x)恒过(0，1)，与x轴有两个交点，开口向下

g(x)左侧与h(x)必然存在一个交点

临界状态(III):g(x)右侧与h(x)相切，不妨令切点为(m，1/m)

g(m)=－m²＋am＋1=1/m①

g'(m)=－2m＋a=h'(m)=－1/m²②

由②可得a=2m－1/m²，代入①，化简得

m³－1＋m=1

(m－1)(m²＋m＋2)=0

解得m=1，a=1

要想g(x)与h(x)有唯一交点，则a＜1

所以选择B

作为选择题完全可以代入特殊值，a=0代入

f(x)=－x³＋x－1

f'(x)=－3x²＋1

x∈(－∞，－∨3/3)，f(x)单调递减

x∈(－∨3/3，∨3/3)，f(x)单调递增

x∈(∨3/3，＋∞)，f(x)单调递减

f(－∨3/3)＜0，f(∨3/3)＜0

图像如下

当然也可以通过图像解决f(x)=－x³＋x－1=0有唯一解，即x³=x－1有唯一解

也就是y=x³与y=x－1有唯一交点

显然满足题意

所以ACD全部错误，选择B