求高手做几道高中数学选择题9-11

9、
解：由lgx1+x1-3=0，又知10^x2=3-x2，
两边同取对数，有x2=lg(3-x2)，
令y=3-x2，代入上式，则有lgy+y-3=0，
考察函数f(x)=lgx+x-3，在x>0的定义域内单调递增，
则x1=y，即x1=3-x2，
故x1+x2=3.选C.

10、
分析：本题实际是数学竞赛中琴生不等式的二元情形，一般的，若函数f(x)在某一区间内的任意x1，x2，恒有f((x1+x2)/2)>=[f(x1)+f(x2)]/2，则称f(x)为上凸函数，反之则成为下凸函数.
简单的讲，上凸函数是均值的函数大于等于函数的均值，其二阶导数非正.即图像向上拱起.
解：画出以上函数图像，y=2^x，y=x^2(0函数y=lgx/lg2(即以2为底x的对数函数)图像斜率逐渐减小，为严格上凸函数，即满足题意的函数.
故在(0,1)上有f((x1+x2)/2)>[f(x1)+f(x2)]/2恒成立的函数仅有一个.选B.

11、
解：由辅助角公式，有f(x)=√2sin(ωx+φ+π/4)，
由函数的最小正周期为π，则2π/ω=π，得ω=2，
又-π/2<φ<π/2，则有-π/4<φ+π/4<3π/4，令θ=φ+π/4，
则f(x)=√2sin(2(x+θ/2))，-π/8<θ/2<3π/8，
又知f(-x)=f(x)，f(x)为偶函数，所以θ/2=π/4，即θ=π/2，
所以f(x)=√2sin(2x+π/2)=√2cos2x，
则f(x)在(0,π/2)上单调递减，在(π/4,3π/4)上先减后增.选A.

9.C 解：x1是方程lgx+x=3的解，就是y=lgx 和y=3-x图象交点的横坐标．
同理，方程10x+x=3的解就是函数y=10x和y=3-x图象交点的横坐标，
函数y=lgx和y=10x 的图象关于直线y=x 对称，又直线y=3-x和y=x互相垂直，
根据对称性可得，x1+x2就是直线y=3-x和y=x交点的横坐标的二倍，故x1+x2=3．