15问答网 > x+y+z=1,想，x，y，z大于0，求证：xy^2+yz^2+zx^2≤4⼀27，并指出等号成立条件

x+y+z=1,想，x，y，z大于0，求证：xy^2+yz^2+zx^2≤4⼀27，并指出等号成立条件

2025-05-22 15:59:05

推荐回答（3个）

回答1：

我今天刚做的。。看到了就蛮回答下。。楼主有心情的话就看下对不对吧。。
x+y+z=1大于等于3 3次根号xyz 算出xyz小于等于1/27 所以1/xyz大于等于27 所以4/27 * 1/xyz大于等于4 所以左边除以xyz 可以得到x/z+y/x+z/y 即证x/z+y/x+z/y小于等于4 因为x+y+z=1 所以x/z+y/x+z/y=x/z+y/x+z/y（x+y+z）小于等于 [（x/z+y/x+z/y）+（x+y+z）/2]平方当且仅当x/z+y/x+z/y= x+y+z=1时取等又x/z+y/x+z/y大于等于3 当且仅当x/z=y/x=z/y时取等所以 [（x/z+y/x+z/y）+（x+y+z）/2]会大于等于4 当且仅当x/z=y/x=z/y时取等这个时候如果两个取等条件可以同时取到应该就可以了于是联立x/z=y/x=z/y x/z+y/x+z/y= x+y+z=1 可以算出 x=3/13 y=1/13 z=9/13符合题意所以证完了。。不懂对不对。。

回答2：

最大值还是最小值检验一下就好了

取x=1/4,y=1/4,z=1/2

代入计算得

左侧=0.109375<1/9

回答3：

我记得曾经学过在n个数的和一定时，只有每个数都取平均数（即各个数都相等），才能使n个数的乘积最大。这题可不可以这样想，只有x=y=z=1/3时，原式才最大等于1/9。当然这只是一个思路，要是证明的话还是要看看各楼的看法咯