如图,连接AC,AD,BC,BD,并且分别过点C,D作AB的垂线,垂足分别为 ,则CE‖DF.
因为AB是⊙O的直径,所以
.
在Rt△ 和Rt△ 中,由射影定理得
,
.
两式相减可得
,
又 ,
于是有 ,
即 ,
所以 ,也就是说,点P是线段EF的中点.
因此,MP是直角梯形 的中位线,于是有 ,从而可得MP分别与⊙A和⊙B相切.
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