已知实数x,y满足x눀+y눀=9(y≥0)试求m=(y-3)⼀(x+1)及b=2x+y的取值范围

2025-05-17 12:53:43
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回答1:

(1)满足x²+y²=9(y≥0)的点是在半圆上的点,
而m就表示点(x,y)与点(-1,3)的连线斜率【k=[y-3]/[x-(-1)]=(y-3)/(x+1)】,
这样的话,m的几何意义就是圆上的点与(-1,-3)两点连线的斜率。
则m的范围与两切线的斜率有关
作图,得到m的范围是(-∞,0]∪[3/2,+∞)
(2)b表示平行直线系y=-2x+b与在y轴上的截距,且直线必须(1)中的半圆相交
要求b 的范围,只需求出两边界直线的b即可
作图,可知y=-2x+b过点(-3,0)时,b=-6
y=-2x+b与x²+y²=9(y≥0)相切时 (0,0)到y=-2x+b的距离为3,可得b=3√5
得到b的范围是[-6,3√5]

回答2:

m=(y-3)/(x+1)可理解为过(-1,3)点的直线y-3=k(x+1)与半圆x²+y²=9(y≥0)相交求k的范围,用图形解法可得。
b=2x+y可理解为直线与半圆相交求b范围,同样可用图形解。