15问答网 > 在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P1，P2分别为线段AB，BD1（不包括端点）的

在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P1，P2分别为线段AB，BD1（不包括端点）的

2025-05-23 21:49:45

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回答1：

V(P2-AB1P1)最大值为1/24

^2是平方，设AP1=x (0由于P1P2∥平面A1ADD1，且过P1P2的平面ABD1与平面A1ADD1的交线为AD1
所以P1P2∥AD1，有BP1/AB=BP2/BD1 ①
联结A1B，过P2作P2H⊥A1B于H
由于A1D1⊥平面ABB1A1，所以A1D1⊥A1B，而A1D1于P2H都在平面A1BD1上
所以A1D1∥P2H，有P2H/A1D1=BP2/BD1 ②
结合①、②，有BP1/AB=P2H/A1D1
由于AB=A1D1=1，所以P2H=BP1=AB-AP1=1-x

向左转|向右转

由于A1D1⊥平面ABB1A1，A1D1∥P2H
所以P2H∥平面ABB1A1，即P2H∥平面AB1P1
所以P2H为四面体P2-AB1P1底面上的高
则V(P2-AB1P1)=P2H*S△AB1P1/3=P2H*AP1*BB1/2/3
即V(P2-AB1P1)=(1-x)*x*1/2/3=(-x^2+x)/6=(-(x-1/2)^2)/6+1/24≤1/24
等号当且仅当x=1/2时取到，在0所以V(P2-AB1P1)最大值为1/24