1）四边形BCEF是平行四边形，理由如下：
证明：∵DF垂直且平分AC且∠ACB=90°
∴FD∥BC，AE=CE，
∴∠A=∠ACE，
∵∠A+∠ABC=∠ACE+∠BCE=90°，
∴∠ABC=∠BCE，
∴BE=CE=BF，
∴∠BFE=∠BEF
∵FD∥BC，
∴∠BFE=∠BEF=∠ABC=∠BCE
∴∠FBE=∠BEC，
∴FB∥EC，
∵CE=BF，
∴四边形BCEF为平行四边形；
（2）∠A=30°，
证明：∵∠A=30°，
∴∠ABC=60°且BE=CE，
∴△BCE为等边三角形，
∴BC=CE，
由（1）可知四边形BCEF为平行四边形，
∴四边形BCEF为菱形；
（3）不可以，
因为∠BCE始终是锐角，所以四边形BCEF不可能是正方形．
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