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已知函数f(x)=x^4+(2-λ)x^2+(2-λ),是否存在a使得f(x)在(-∞,-1)上是减函数,在(-1,0)内为增函数？

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2025-05-13 08:06:29

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回答1：

已知函数f(x)=x⁴+(2-λ)x²+(2-λ),是否存在λ使得f(x)在(-∞,-1)上是减函数,在(-1,0)内为增函数？
解：f′(x)=4x³+2(2-λ)x=4x[x²+(2-λ)/2]=4x{x+√[(2-λ)/2]}{x-√[(2-λ)/2]}
为使f(x)在(-∞,-1)上是减函数,在(-1,0)内为增函数，必须使√[(2-λ)/2]=1，(2-λ)=2，即λ=0；
当λ=0时f′(x)=4x(x+1)(x-1)；当-∞0，即在区间(-1，0)∪(1，+∞)内f(x)单调增。

回答2：

解：
令x²=t，x在(-∞，-1]上，t在[1，+∞)上，且随x递增，t递减；x在(-1，0)上，t在(0，1)上，且随x递增，t递减。题意转化为是否存在λ，使t≥1时是增函数，0f(t)=t²+(2-λ)t+(2-λ)
对称轴(λ-2)/2=1
λ=4
即当λ=4时满足题意。