线性代数问题解答

|λI-A|
= 

λ-1    -2    -2    

-2    λ-1    -2    

-2    -2    λ-1    

 

= (λ+1)2(λ-5) 

= 0 
解得λ = -1（两重），5
   
将特征值-1代入特征方程(λI-A)x=0

-2    -2    -2    

-2    -2    -2    

-2    -2    -2    

第3行, 减去第1行×1

-2    -2    -2    

-2    -2    -2    

0    0    0    

第2行, 减去第1行×1

-2    -2    -2    

0    0    0    

0    0    0    

第1行, 提取公因子-2

1    1    1    

0    0    0    

0    0    0    

增行增列，求基础解系

1    1    1    0    0    

0    1    0    1    0    

0    0    1    0    1    

第1行, 加上第3行×-1

1    1    0    0    -1    

0    1    0    1    0    

0    0    1    0    1    

第1行, 加上第2行×-1

1    0    0    -1    -1    

0    1    0    1    0    

0    0    1    0    1    

得到属于特征值-1的特征向量
(-1,1,0)T
(-1,0,1)T    
将特征值5代入特征方程(λI-A)x=0

4    -2    -2    

-2    4    -2    

-2    -2    4    

第3行, 减去第1行×(-12)

4    -2    -2    

-2    4    -2    

0    -3    3    

第2行, 减去第1行×(-12)

4    -2    -2    

0    3    -3    

0    -3    3    

第3行, 减去第2行×-1

4    -2    -2    

0    3    -3    

0    0    0    

第2行, 提取公因子3

4    -2    -2    

0    1    -1    

0    0    0    

第1行, 提取公因子4

1    -12    -12    

0    1    -1    

0    0    0    

第1行, 加上第2行×12

1    0    -1    

0    1    -1    

0    0    0    

增行增列，求基础解系

1    0    -1    0    

0    1    -1    0    

0    0    1    1    

第1行,第2行, 加上第3行×1,1

1    0    0    1    

0    1    0    1    

0    0    1    1    

得到属于特征值5的特征向量
(1,1,1)T    得到特征向量矩阵P = 

-1    -1    1    

1    0    1    

0    1    1    

并且有P-1AP = Λ = diag(-1,-1,5)
矩阵P施密特正交化

-1    -1    1    

1    0    1    

0    1    1    

第2列，减去第1列的(C2,C1)(C1,C1)=12倍然后第2列乘以2

-1    -1    1    

1    -1    1    

0    2    1    

单位化，得到正交矩阵Q = 

-√22    -√22    √33    

√22    0    √33    

0    √22    √33    

并且有Q-1AQ = Λ = diag(-1,-1,5)
所求正交变换是X=QY，Y=QTX，且有
XTAX=(QY)TAQY=YTQTAQY=YTdiag(-1,-1,5)Y
y1=-√22x1+√22x2
y2=-√22x1+√22x3
y3=√33x1+√33x2+√33x3