函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x）．当0≤x≤1时，f（x）=x 2 ．若直

2025-05-18 11:03:14

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回答1：

因为函数f（x）是定义在R上的偶函数，设x∈[-1，0]，则-x∈[0，1]，于是f（x）=（-x）² =x² ．
设x∈[1，2]，则（x-2）∈[-1，0]．于是，f（x）=f（x-2）=（x-2）² ．
①当a=0时，联立

y=x

y= x 2

，解之得

x=0

y=0

或

x=1

y=1

，即当a=0时，即直线y=x+a与函数y=f（x）的图象有两个不同的公共点．
②当-2＜a＜0时，只有当直线y=x+a与函数f（x）=x² 在区间[0，1）上相切，且与函数f（x）=（x-2）² 在x∈[1，2）上仅有一个交点时才满足条件．由f^′ （x）=2x=1，解得x=

，
∴y= (

) 2 =

，故其切点为 (

，

) ，
∴ a=

；
由

y=x-

y=(x-2 ) 2

（1≤x＜2）解之得

5-2

9-4

．
综上①②可知：直线y=x+a与函数y=f（x）在区间[0，2）上的图象有两个不同的公共点时的a的值为0或 -

．
又函数f（x）是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R，都有f（x+2）=f（x），实数a的值为2n或2n-

，（n∈Z）．
故应选C．