一道高中数学必修五均值不等式的一道题

已知a>0,b>0,a+b=1,求证(a+1/a)(b+1/b)≥25/4

2025-05-18 06:58:32

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回答1：

(a+1/a)(b+1/b)
=(a^2+1)/a*(b^2+1)/b
=(a^2b^2+a^2+1+b^2)/ab
=[a^2b^2+(a+b)^2-2ab+1]/ab
=[a^2b^2+(1-2ab)+1]/ab
=[(ab-1)^2+1]/ab
(ab-1)^2+1≥25/16
0(a+1/a)(b+1/b)≥25/4得证
取等号时a=b=1/2

回答2：

分解得ab+a/b+b/a+1/ab
=ab+1/ab+(a^2+b^2)/ab
>=ab+1/a
因为a+b=1>=2根号ab得ab<=1/4
取ab=1/4时，取得最小值。
得上式>=25/4

回答3：

老师说，第二问需要用到均值不等式，要先换元，非常复杂，所以没有具体讲解。但我想知道做法，请高手帮助谢谢！ (1) 因为椭圆的短轴端点和焦点所