甲、乙、丙沿环形跑道跑完1圈分别需用时6、7、11分钟。在起跑点，甲出发后1分钟乙出发，

我来试试吧...
解：甲、乙、丙沿环形跑道跑完1圈分别需用时6、7、11分钟
设跑道一圈长为1
故可以设他们三人的速度分别是：1/6,1/7；1/11

设第一次同时经过起跑点的时间为t,
甲跑过的路程为S1=t/6
甲出发后1分钟,乙出发
乙跑过的路程为S2=(t-1)/7
再过5分钟后丙出发
丙跑过的路程为S3=(t-6)/11

三人相遇是，有路程差为跑道长的整数倍，即是整数
S1-S2=t/6-(t-1)/7=m∈Z+
S1-S3=t/6-(t-6)/11=n∈Z+

化简得到 t+6=42m → t=42m-6 ①
5t+36=66n →5t=66n-36 ②
其中m,n都是正整数...

(接下来就要用到数论的知识了...如果LZ看不懂的话，
可以将m从1开始列举...直到m=5时n为整数，即为最小的t)

由②66n≡5t+31≡1≡66(mod5)
(66,5)=1 故，n≡1(mod5),设n=5k+1
代入得t=66k+6,t≡6(mod66)
得t≡6(mod11)
又t≡-6(mod42)
得t≡-6≡1(mod7)
中国剩余定理得 t≡6(mod11)，t≡1(mod7) (7.11)=1
t1≡1 mod 11 =7a
t2≡1 mod 7 =11b
于是t≡6a+b mod 11*77
a≡8mod11 b≡2mod7
于是，t≡6*8*7+1*2*11≡358≡50(mod77),解得t=77s+50
代入验证，当s=1不满足，
当s=2,t=204时，m=5,n=16

故甲出发后204分钟，三人一地次同时经过起跑点

这个问题可以转换为：几分钟后三人跑的路程是一的倍数。设甲的速度为1/6圈每分乙为1/7圈每分，丙为1/11圈每分
丙出发时（甲出发六分钟后），甲跑了：6/6圈,乙跑了七分之五圈。
丙出发一分钟后（甲出发七分钟后）：甲跑了7/6,乙6/7,丙1/11。又因为丙最慢，所以令丙跑整数圈。
丙跑完第一个整数圈后(用时11min),甲跑了17/6圈，乙跑了16/7圈。
丙跑完第二个整数圈后11min+11min,甲28/6,乙27/7
丙跑完第三个整数圈后11+11+11min，甲39/6,乙38/7
丙跑完第四个整数圈后11+11+11+11min,甲50/6,乙49/7
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以此类推。。。6×7×11=462分钟+6分钟（甲出发的时间）=468分钟后三人第一次同时经过起点

可以设时间为x，那么乙完成的时间是x-1,丙的时间为x-1-5=x-6,那么x是6的倍数，x-1是7的倍数，x-6是11的倍数。所以x除以6余0，除以7余1，除以11余6，x-6是6和11的公倍数，那么x就是6和11的公倍数加6.
6*11+6=72，72除以7余2，不符合条件；
6*11*2+6=138，138除以7余5，也不符合条件；
6*11*3+6=204，204除以7与1，符合，所以至少经过204分钟

祝你开心！

甲跑x圈所用时间为6x
乙跑y圈所用时间为7y+1
丙跑z圈所用时间为11z+6
题目变成为6x=7y+1=11z+6 x,y,z为整数
解得x的最小值为34，y为29，z为18
意思就是甲跑了34圈，乙跑了29圈，丙跑了18圈第一次经过起跑点，用时204分钟