已知x,y,z为正数,且x+y+z=2,则S=1⼀x+1⼀y+1⼀2的最小值？请给我详细的解答过程，步骤不要跳太多，谢谢

2025-05-22 17:21:05

推荐回答（3个）

回答1：

x+y+z=2，和恒为2
那么当x=y=z时，xyz有最大值

xyz<=(2/3)³=8/27
1/xyz>=27/8

根据不等式性质
3立方根(1/xyz) <=1/x+1/y+1/z
3(3/2)<=3立方根(1/xyz) <=1/x+1/y+1/z
1/x+1/y+1/z 最小值9/2

回答2：

x＋y＋z=2，而：x＋y＋z≥3³√(xyz)，则：xyz≤8/27，则：1/(xyz)≥27/8
S=1/x＋1/y＋1/z＋≥3³√(1/xyz)≥9/2，则1/x＋1/y＋1/z的最小值是9/2

回答3：

柯西不等式
(x+y+z)(1/x + 1/y+ 1/z)≥9
1/x + 1/y+ 1/z ≥ 9/2

证明详见参考资料，在计算类题目中，可直接使用。